08. september 2019

Lottokuponen der altid vinder: Matematikere løser glemt gåde fra 1969

Matematik

Forskere fra Københavns Universitet har efter flere års arbejde stykket de sidste brikker sammen i et 50 år gammelt matematisk problem, som ingen før dem har kunnet løse. Gåden var gået i glemmebogen, indtil en dansk forsker hørte om den og siden besluttede sig for at løse den.

Drømmen om at besvare Mathias’ spørgsmål fulgte Asger Dag Törnquist gennem flere år i udlandet, indtil han i 2011 blev fastansat på Københavns Universitets Institut for Matematiske Fag. 


Findes der en lottokupon som altid vinder? Sådan lyder en populær version af et teoretisk spørgsmål, som den engelske matematiker Adrian R.D. Mathias fremsatte i 1969 inden for det matematiske område, mængdelære, som beskæftiger sig med uendelighed i matematik.

Problemet forblev en gåde op gennem 70’erne, 80’erne og 90’erne, hvor mange matematikere inden for feltet verden over ihærdigt forsøgte at løse det. Lektor Asger Dag Törnquist fra Matematisk Institut på Københavns Universitet hørte første gang om problemet tilbage i 2002, mens han skrev sin ph.d. på University of California, Los Angeles, i USA.

”Forskningen på området var gået i dvale fra 1990'erne og frem, fordi ingen kom nærmere en løsning. Jeg blev fascineret af det, fordi det er et gammelt problem, som handler om vores forståelse af det uendeliges rolle i matematikken. Allerede dengang blev det en drøm at løse gåden, selvom jeg ikke havde nogen anelse om, hvordan jeg skulle gøre dét, som andre havde forsøg uden held i årtier,” siger han.

Gale familier

Mathias forskede i orden og struktur, som opstår spontant i matematiske systemer, når bare de er store nok. Det kaldes i dag Ramseyteori efter grundlæggeren Frank Ramsey. Mathias' forskning pegede på, at der var en dyb sammenhæng mellem Ramseyteori og en sætning, der hedder en mad family, dvs. en gal familie, men han kunne ikke bevise at sammenhængen fandtes.

”En mad family er populært sagt en slags lottokupon, der med sikkerhed altid vinder i et særligt lottospil. I det her spil har lottokuponerne uendeligt mange rækker af hele tal, og faktisk er det tilladt at kuponen har så mange rækker, at de ikke kan nummereres,” siger Asger Dag Törnquist.

Det, som Mathias spurgte den matematiske verden om, var, om den orden og struktur, som vi ved findes pga. Ramseyteoriens resultater, forhindrer, at der findes en mad family, dvs. en kupon der vinder med sikkerhed.

Baby-gåden var nøglen

Drømmen om at besvare Mathias’ spørgsmål fulgte den danske forsker gennem flere år i udlandet, indtil han i 2011 blev fastansat på Københavns Universitets Institut for Matematiske Fag. Det blev startskuddet på en årrække, hvor Asger Dag Törnquist sammen med sin postdoc-forsker David Schrittesser (fra Østrig) langsomt kom tættere på en løsning.

”I 2014 besluttede jeg mig for at gentænke problemet helt fra bunden og fandt så en helt ny måde at gribe det an på. Sammen med den oprindelige gåde havde Mathias fremsat en slags baby-version af gåden, og den baby-version var heller ikke var blevet løst. Det lykkedes mig i første omgang at løse baby-versionen af gåde, som jeg skrev en artikel om,” forklarer Törnquist.

Efterfølgende reageredeen masse matematikere verden over på hans artikel, og så vågnede forskningen på området pludseligt op igen. Forskere andre steder i verden begyndte nu at bygge videre på KU-forskernes artikel, og flere og flere brikker i puslespillet faldt på plads.

"Vi var i gang med at skrive en artikel, som blot skulle være endnu en lille brik i puslespillet, da det gik op for os, at vi måske var tættere på at løse hele gåden, end vi havde indset. Derfra gik det pludseligt stærkt, og få uger senere havde vi løsningen," fortæller matematikeren.

Løsning: Den evigt-vindende lottokupon findes ikke

Efter fem års arbejde fik Asger Dag Törnquist og David Schrittesser for få uger siden antaget deres  forskningsartikel om Adrian Mathias’ ”lottokupon” i det prestigefyldte videnskabelige tidsskrift The Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS) i USA. De to forskere fandt ud af, at den totale tilfældighed ikke findes.

”Vi fandt ud af, at tallene på lottokuponen nødvendigvis klumper sig sammen på en sådan måde, at den ikke med sikkerhed vinder, hvilket var det som Mathias havde gættet på ville ske, men ikke kunne bevise. Så det bekræfter, at man ikke kan sammensætte sådan en lottokupon, uden at der opstår visse mønstre og regelmæssigheder i tallene på kuponen. Derfor findes der ikke en lottokupon, der altid vinder i Mathias' lottospil,” konkluderer Asger Dag Törnquist.

Læs forskningsartiklen i det videnskabelige tidsskrift PNAS